[ Pobierz całość w formacie PDF ]

îø ùø
îø ùø
3 1 1 4
1 » -1 2
ïø
» 4 10 1úø
ïø úø, b) 2 -1 » 5 ûø.
ðø
a)
ðø ûø
1 7 17 3
1 10 -6 1
2 2 4 3
13. Podać przykład macierzy A dla której:
a) rzÄ…d A =2,
b) rzÄ…d A =3.
91
BG AGH
5. Macierze i wyznaczniki
14. Ile istnieje wyznaczników 3. stopnia z macierzy A o wymiarach 4 × 5.
15. Obliczyć, jeżeli istnieje, macierz odwrotną dla macierzy A:
îø ùø
1 2 3
1 2 ± ²
ðø ûø,
a) A = ,b) A = ,c) A = 0 2 1
2 3 x y
0 0 3
îø ùø
îø ùø
2 1 0 0
2 2 3
ïø úø
3 2 0 0
ðø ûø, ïø úø.
d) A = 1 -1 0 e) A =
ðø ûø
1 1 3 4
-1 2 -1
2 -1 2 3
16. Wyznaczyć macierz X taką, że:
2 4 4 -6
a) X = ,
1 3 2 1
îø ùø îø ùø
1 1 -1 1 -1 3
ðø ûø ðø ûø,
b) X 2 -1 0 = 4 3 2
1 1 1 1 -2 4
3 1 1 0
c) X = ,
3 1 0 1
-3 2 2 1 -2 4
d) X = .
5 -3 3 2 3 -1
92
BG AGH
Rozdział 6.
Układy równań liniowych
6.1. Definicje i oznaczenia
Wiele zagadnień technicznych wymaga rozwiązywania układów równań linio-
wych. Przykładem może być układ równań
x +2y =3
(6.1)
3x + y =1
lub
2x - y +3z = 2
(6.2)
5x +2y - 2z = -1
W układzie równań (6.1) mamy dwa równania i dwie niewiadome, a w (6.2) są dwa
równania i trzy niewiadome: x, y, z.
Wezmy pod uwagę ogólną postać układu równań liniowych
ñø
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
ôø
ôø
òø
a21x1 + a22x2 + · · · + a1nxn = b2
(6.3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôø
ôø
óø
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
gdzie: aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n), bi (i = 1, 2, . . . , m) sÄ… zadane,
a x1, x2, . . . , xn traktujemy jako niewiadome. Liczby aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1,
2, . . . , n) nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, lub krótko  współ-
czynnikami układu równań (6.3). Natomiast bi (i = 1, 2, . . . , m) nazywamy wy-
razami wolnymi lub prawymi stronami rozpatrywanego układu równań. W ogól-
nym przypadku aij, bi są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Każdy ciąg liczb
x0, x0, . . . , x0 , który spełnia równania (6.3) nazywamy rozwiązaniem rozpatrywanego
1 2 n
układu równań.
Jeżeli b1 = b2 = · · · = bm = 0, to mówimy, że (6.3) jest ukÅ‚adem równaÅ„
liniowych jednorodnych. Jeżeli istnieje bi = 0, to układ równań nazywamy niejedno-
rodnym.
W układzie równań (6.3) mamy n niewiadomych x1, x2, . . . , xn, oraz m rów-
nań. Liczba niewiadomych nie musi być równa liczbie równań. Będziemy rozpatrywać
przypadki gdy m = n lub m = n (mn).
93
BG AGH
6. Układy równań liniowych
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
îø ùø îø ùø
îø ùø
b1 x1
a11 a12 . . . a1n
ïø úø ïø úø
ïø
a21 a22 . . . a1n úø b2 x2
ïø úø ïø úø
ïø úø
A = , b = , x = ,
ïø úø ïø úø
ðø ûø . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
ðø ûø ðø ûø
. .
. .
am1 am2 . . . amn
bm xn
îø ùø
a11 a12 . . . a1n b1
ïø
a21 a22 . . . a1n b2 úø
ïø úø
B = .
ðø ûø
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
Macierz A = aij m×n, nazywamy macierzÄ… współczynników ukÅ‚adu rów-
nań (6.3), a b macierzą prawych stron lub macierzą wyrazów wolnych, natomiast
x  macierzą niewiadomych. Macierz B nazywamy macierzą uzupełnioną układu
równań (6.3). Widać, że macierz uzupełniona powstaje z macierzy współczynników
przez dopisanie n + 1 kolumny  macierzy prawych stron.
Przy tych oznaczeniach układ (6.3) możemy zapisać w postaci
Ax = b (6.4)
Mówimy, że (6.4) jest macierzowym zapisem układu równań (6.3).
Przykład
Układ równań
5x1 - 2x2 +4x3 = -2
,
2x1 +3x2 = 1
możemy zapisać w postaci macierzowej
Ax = b,
gdzie
îø ùø
x1
5 -2 4 -2
ðøx2ûø
A = , b = , x = ,
2 3 0 1
x3
a macierz uzupełniona ma postać
5 -2 4 -2
B = .
2 3 0 1
Ze względu na zastosowania interesuje nas rozwiązywanie układu równań liniowych.
Rozwiązać układ równań, to znaczy:
 stwierdzić, czy dany układ równań ma rozwiązanie,
 stwierdzić, czy istnieje dokładnie jedno rozwiązanie,
 wyznaczyć rozwiązanie (rozwiązania) w przypadku, gdy rozwiązanie (rozwiąza-
nia) istniejÄ….
94
BG AGH
6.2. Twierdzenie Cramera
Przykłady
Widać, że układ równań
x1 + x2 =2
x1 + x2 =3
nie ma rozwiązań (dlaczego?).
Natomiast układ równań
ñø
x1
òø - 2x2 = 1
2x1 +3x2 = 2
óø
-x1 +2x2 = -1
ma dokładnie jedno rozwiązanie: x1, x2 =(1, 0).
Układ równań
x1 - x2 +2x3 = 1
,
x1 + x2 - x3 = -2
3
ma nieskończenie wiele rozwiązań: x1, x2, x3 = (-1/2(t +1), /2(t - 1), t), gdzie t
oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ rzeczywistÄ….
6.2. Twierdzenie Cramera
Zajmiemy się teraz układem równań liniowych, w przypadku szczególnym, gdy
liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Będziemy zatem rozważać układ
równań
ñø
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
ôø
ôø
òø
a21x1 + a22x2 + · · · + a1nxn = b2
(6.5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôø
ôø
óø
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
lub w zapisie macierzowym
Ax = b (6.6)
gdzie:
A = aij n×n,
T
b = b1, b2, . . . , bn ,
T
x = x1, x2, . . . , xn .
Wezmy pod uwagę następujące wyznaczniki
a11 a12 . . . a1(i-1) b1 a1(i+1) . . . a1n
a21 a22 . . . a2(i-1) b2 a2(i+1) . . . a2n
Wi =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . an(i-1) bn an(i+1) . . . ann
dla i =1, 2, . . . , n.
95
BG AGH
6. Układy równań liniowych [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • supermarket.pev.pl

    •